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2023年普通高等学校招生全国统一考试·专家猜题卷(四)数学试卷答案

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14．已知f（x）=e^xlnx+2e^x
（1）求y=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）已知函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$-x-1，数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{n}$，其前n项和为S_n，求证：2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$．

分析由已知得△=16a²-16b²＞0，利用列举法求出满足16a²-16b²＞0的所有情况，再由从a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}分别取1个a和1个b，有9种情况，利用等可能事件概率计算公式能求出该函数有两个零点的概率．

解答解：∵函数f（x）=2x²-4ax+2b²，该函数有两个零点，
∴△=16a²-16b²＞0，
∵a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，
∴满足16a²-16b²＞0的有：（4，3），（6，3），（6，5），（8，3），（8，5），（8，7），共6种，
从a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}分别取1个a和1个b，有9种情况，
∴该函数有两个零点的概率为：p=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

2023年普通高等学校招生全国统一考试·专家猜题卷(四)数学