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2023届衡水金卷先享题·临考预测卷 新高考B数学试卷答案

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18．已知集合A={a，b}，B={-1，0，1}，则从集合A到集合B的映射有9个．

分析（1）根据函数的对称轴得到关于a的方程组，解出即可；
（2）先求出g（x）的表达式，根据定义证明函数的单调性即可；
（3）问题转化为1+2${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则k≤2t²-2t+1，构造新函数，结合函数的单调性从而求出k的范围即可．

解答解：（1）f（x）=a（x-1）²-a+b，（a＞0），
因为a＞0，故$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f（4）=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．…（4分）
（2）由已知可得g（x）=x+$\frac{2}{x}$-2，设$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，
∵g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（1-$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-2）}{{{x}_{1}x}_{2}}$  …（7分）
∵$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，2＜x₁x₂，即x₁x₂-2＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂）．
所以函数g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函数          …（10分）
（3）g（2^x）-k•2^x≥0可化为2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$-2≥k•2^x，
化为1+2${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则k≤2t²-2t+1，…（12分）
因x∈[-1，1]，故t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
记h（t）=2t²-2t+1，因为t∈[$\frac{1}{2}$，2]，故h（t）_min=1，
所以k的取值范围是（-∞，1]．…（16分）

点评本题考查了二次函数的性质，考查考查函数的单调性问题，考查转化思想，是一道中档题．

2023届衡水金卷先享题·临考预测卷 新高考B数学