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2023年普通高等学校招生押题卷(一)数学试卷答案

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12.生物量是指某一调查时刻单位面积内现存生物的有机物总量。某自然保护区部分区域受到了某种地质灾害的破坏。经过若干年的自然恢复,科研人员拟对该保护区中受破坏区域的恢复群落和未受干扰区域的原始群落进行生物量研究。下列叙述正确的是A.应选在茂密的区域采集生物并分类测量生物量B.恢复群落的生物量一定比原始群落的生物量低C.生物量的高低可以反映群落的物种丰富度D.判断恢复过程发生的演替类型需了解受破坏程度

分析（1）由于上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，利用根与系数的关系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$，另一个方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r为△MF₁N的内切圆的半径），即可用m表示r，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）∵上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+\sqrt{2}=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+3}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$．
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2c×$$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
另一个方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r为△MF₁N的内切圆的半径）．
∴2$\sqrt{3}$r=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}$，∴r²=$\frac{2（{m}^{2}+1）}{（{m}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{4}{{m}^{2}+1}+4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4}+4}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当m²=1，即m=±1时取等号．
∴直线l的方程为：y=$±（x-\sqrt{2}）$．
∴直线l的倾斜角为：45°或135°．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积的不同表示方法、三角形内切圆的面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

2023年普通高等学校招生押题卷(一)数学