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2023届华大新高考联盟高三年级5月联考(新教材)数学试卷答案
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18.已知e是自然对数的底数,函数f(x)的定义域为R,2f(x)•2f′(x)>2,f(0)=27${\;}^{\frac{2}{3}}$-2${\;}^{lo{{g}_{2}}{3}}$×log2$\frac{1}{8}$+2lg($\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$)-11,则不等式$\frac{f(x)-1}{{e}^{ln7-x}}$>1的解集为( )
A. | (-∞,0) | B. | (0,+∞) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,1) |
分析(1)因为函数在极值点处导数等于0,所以若f(x)在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时,都取得极值,则f′(1)=0,f′(-$\frac{2}{3}$)=0,就可得到a,b的值.
(2)求出极值以及端点函数值,得到最值,推出结果即可.
解答解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,∵f(x)在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时,都取得极值,
∴f′(1)=0,f′(-$\frac{2}{3}$)=0,即3×1+2a+b=0,3×(-$\frac{2}{3}$)2+2a(-$\frac{2}{3}$)+b=0
解得a=-$\frac{1}{2}$,b=-2.
(2)由题意可得:f(x)=x3$-\frac{1}{2}$x2-2x+c.
f(-1)=$\frac{1}{2}+c$,
f(1)=$-\frac{3}{2}$+c,
f(-$\frac{2}{3}$)=$\frac{22}{27}$+c,
f(2)=2+c,
x∈[-1,2],f(x)取值范围:[$-\frac{3}{2}$+c,2+c].
点评本题主要考查了函数的导数与极值,单调区间之间的关系,属于导数的应用.
2023届华大新高考联盟高三年级5月联考(新教材)数学