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四川省高中2023届毕业班高考冲刺卷(一)数学试卷答案
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19.已知tanθ=2,则sinθcosθ=( )
A. | $\frac{3}{5}$ | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | ±$\frac{2}{5}$ | D. | ±$\frac{3}{5}$ |
分析由已知条件分别求出|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,PG=$\frac{\sqrt{17}}{3}$,由此能求出$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值.
解答解:∵在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$,
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2}{3}|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
PG=$\sqrt{G{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}+1}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$,
设$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角为θ,
则sinθ=sin∠PGD=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$.
∴$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$.
故选:B.
点评本题考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
四川省高中2023届毕业班高考冲刺卷(一)数学