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天壹名校联盟·2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试卷答案

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15.M13噬菌体是一种丝状噬菌体,内有一个环状单链DNA分子,它只侵染某些特定的大肠杆菌,且增殖过程与T2噬菌体类似。研究人员用M13噬菌体代替T2噬菌体进行“噬菌体優染细菌的实验”,下列有关叙述正确的是A.M13噬菌体的遗传物质中不含游离的磷酸基团B.M13噬菌体的遗传物质热稳定性与C和G碱基含量成正相关C.用2标记的噬菌体侵染大肠杆菌,上清液的放射性与搅拌是否充分关系不大D.若该噬菌体DNA分子含有100个碱基,在大肠杆菌中增殖n代,需要C+T的数量为50(2^a-1)

分析（1）求出f（x）的导数，再求g（x）的导数，讨论a≤0，a＞0，判断导数的符号，即可得到所求单调区间；
（2）由（1）的单调区间，可得最小值，进而解得a=1；
（3）当x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，结合x-sinx的大小，运用不等式的性质，即可得证．

解答解：（1）f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1的导数为f′（x）=e^x-ax-1，
g′（x）=e^x-a，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当a＞0时，x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）递增；
x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有a≤0时，g（x）的增区间为R；
a＞0时，g（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna）；
（2）当a≤0时，g（x）递增，无最小值；
当a＞0时，g（x）在x=lna处取得极小值，也为最小值，
即有g（lna）=a-alna-1，
令h（a）=a-alna-1，h′（a）=1-（1+lna）=-lna，
0＜a＜1时，h（a）递增；a＞1时，h（a）递减．
即有h（a）≤h（1）=0，
由g（x）的最小值为0，即有a=1；
（3）证明：当x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，
即有e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$x²，
e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$xsinx=$\frac{1}{2}$x（x-sinx），
令p（x）=x-sinx，x≥0，p′（x）=1+cosx≥0，p（x）在x≥0递增，
即有p（x）≥p（0）=0，即x≥sinx，
则e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥0，
故当x≥0时，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

点评本题考查导数的运用：求单调区间和极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式的证明，注意运用构造函数的思想方法，属于中档题．

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