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成都七中2022-2023学年度下学期高三年级高考模拟考试（5月）数学试卷答案

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15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点O为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l交椭圆C于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{BO}$，又点D关于坐标原点O的对称点为点E，试问点A，B，D，E四点是否共圆？若是，求出该圆的标准方程；若不是，试说明理由．

分析设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，代入求解即可．

解答解：以坐标轴为对称轴，一条渐进线方程为x+3y=0，
可设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=m$，过点（3，2）双曲线过点（3，2），
可得$\frac{{3}^{2}}{9}-{2}^{2}=m$，解得m=-3．
所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=-3$，即$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．

点评本题考查双曲线方程的求法，设出双曲线方程是解题的技巧所在．

成都七中2022-2023学年度下学期高三年级高考模拟考试（5月）数学