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江西省2023年初中学业水平考试冲刺练习（一）数学试卷答案

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17．解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+\frac{x+1}{3}＞0}\\{x+\frac{7}{3}＞\frac{4（x+1）}{3}+\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．

分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．

江西省2023年初中学业水平考试冲刺练习（一）数学