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河北省保定市2022~2023学年度高二下学期5月联考(23-489B)数学试卷答案

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20．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（$\sqrt{2}，π$），直线L的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$．
（Ⅰ）若点A在直线l上，求直线L的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.（α为参数）$，若直线L与圆C相交的弦长为$\sqrt{2}$，求a的值．

分析（1）根据余弦函数的图象即可得到结论，
（2）根据复合函数的单调性即可判断．

解答解：（1）y=cos4x，
∴-π+2kπ≤4x≤2kπ，2kπ≤4x≤2kπ+π，k∈Z，
∴-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴y=cos4x在[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]上单调递增，在[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，上单调递减．
（2）y=3sinx-cos²x═3sinx-1+sin²x=（sinx+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，
设t=sinx，
∴y=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$在[-1，1]上单调递增，
∵t=sinx在[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，上单调递减，
∴y=3sinx-cos²x在[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z上单调递减．

点评本题考查正弦函数余弦函数的图象和性质，以及复合函数的单调性，属于基础题．

河北省保定市2022~2023学年度高二下学期5月联考(23-489B)数学