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炎德英才大联考 湖南师大附中2023届模拟试卷(三)数学试卷答案

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4．已知函数f（x）=x³+ax²+3x+b（a，b∈R），若f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率均大于2，求实数a的取值范围．

分析由题意和基本不等式可得$\sqrt{xy}$的不等式，解不等式可得．

解答解：∵正数x，y满足x+y+xy=8，
∴8-xy=x+y≥2$\sqrt{xy}$，
∴（$\sqrt{xy}$）²+2$\sqrt{xy}$-8≤0，
解得-4≤$\sqrt{xy}$≤2，
故xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号．
∴xy的最大值为4
故答案为：4

点评本题考查基本不等式，涉及不等式的解法和整体思想，属基础题．

炎德英才大联考 湖南师大附中2023届模拟试卷(三)数学