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广西省2023年春季期高一年级期末教学质量监测(23-540A)数学试卷答案

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11．设a、b∈R，方程x²+ax+b=0的两个复根与原点构成正三角形，求实数a、b之间的关系及b的取值范围．

分析（1）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z求出x的值，可得函数图象的对称中心坐标；
（2）先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案；

解答解：（1）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z得：
x=$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
故函数y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象的对称中心为（$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，0），k∈Z，
（2）由题意知
y=sin2x+acos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+φ），
当x=$\frac{π}{8}$时函数y=sin2x+acos2x取到最值±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
将x=$\frac{π}{8}$代入可得：sin（2×$\frac{π}{8}$）+acos（2×$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+1）=±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
解得a=1．

点评本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，难度中档．

广西省2023年春季期高一年级期末教学质量监测(23-540A)数学