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1、第67练高考大题突破练空间向量与立体几何1(2022浙江省三门中学期中)如图，已知在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，在四边形ABCD中，ABC90，ABCD，AB1，BCCD2，点A在平面PCD内的射影恰好是PCD的重心G.(1)求证：平面PAB平面PBC；(2)求直线CG与平面PBC所成角的正弦值(1)证明ABC90，BCAB，又PA平面ABCD，PABC，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.(2)解取CD的中点M，连接AM，PM，设PAa(a0)，由已知得G为PCD的重心，点G在线段PM上，且，ABC90，ABCD，AB1，CMC。

2、D，四边形ABCM为矩形，AMAB，以A为坐标原点，AB，AM，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0，a)，M(0，2,0)，G，(1,2，a)，(0,2,0)，由已知得，即2(a)0，解得a2，G，P(0,0,2)，(1,2，2)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，可得n(2，0,1)，|cosn，|，故直线CG与平面PBC所成角的正弦值为.2(2022新余市第一中学模拟)如图1，已知ADE为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，BC1，BD2，BA，把ADE沿AD向上折起，使。

3、点E到达点P位置，如图2所示，且平面PAD平面PBD.图1图2(1)证明：PABD；(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值(1)证明如图，设PD的中点为F，连接AF.ADP为等边三角形，AFPD.又平面PAD平面PBD，平面PAD平面PBDPD，AF平面PBD.BD平面PBD，BDAF.ADBC1，BD2，BA，AD2BD2AB2，BDAD.又ADAFA，AD，AF平面PAD，BD平面PAD.又PA平面PAD，PABD.(2)解由(1)知BD平面PAD，则平面PAD平面ABD.设AD的中点为O，连接PO，则POAD.又平面PAD平面ABD，平面PAD平面ABDAD，PO平面ABD.设AB的。

4、中点为O，连接OO.OOBD，OOAD，故以点O为坐标原点，OA，OO，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A，B，C，P，.设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，由得取z2，则m(2，2)，设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，由得取c4，则n(0，4)，|cosm，n|，平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.3如图，三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC平面ABC，点P在侧棱SA上(1)当P为侧棱SA的中点时，求证：SA平面PBC；(2)若平面PBC与平面ABC夹角的大小为60，求的值(1)证明因为ABC为等边三角形，所以ABACB。

5、C.因为SBC为等边三角形，所以SBSCBC，所以ABSB，ACSC.在等腰BAS和等腰CAS中，因为P为SA的中点，所以SABP，SACP.又因为BPCPP，BP，CP平面PBC，所以SA平面PBC.(2)解如图，取BC的中点O，连接SO，AO，则在等边ABC和等边SBC中，有BCAO，BCSO，所以AOS为平面SBC与平面ABC的夹角因为平面SBC平面ABC，所以AOS90，即AOSO.所以OA，OB，OS两两垂直以点O为坐标原点，OB，AO，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设ABa，则A，B，C，S.因为P在SA上，设APAS，P(0，y，z)，则，由，可得，解得y(1)a，za，即P.显然平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，因为，(a,0,0)所以即令y1，则z11，所以m(0，1。

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