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1、专题15 圆锥曲线常考题型03定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量1如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，两点，且，为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点【解答】解：。

2、（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：，再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，所以由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设直线的方程为，联立，整理可得：，可得：，解得，所以直线的方程为：，所以直线恒过定点2已知抛物线（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点【解答】解：（1）联立，解得或，故，可得直线的方程为，即，（2）证明：由题意，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，由韦达定理可得，由题意，可设直线方程为，化简整理可得，解得，方程为，直线必过点，为定点，即得证3。

3、设，和，是抛物线上的两点，且（）若，求直线的方程；（）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点【解答】解：（），和，是抛物线上的两点，且，由，可得，则，或，可得直线的方程为，即为；或，即为；（）证明：由题意可得，相减可得，可得的斜率，可得中点的横坐标为5，可得的垂直平分线方程为，即为，可得，则线段的垂直平分线过定点，4已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点【解答】解：（）因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为。

4、以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为（）证明：根据题意当的斜率部位0时，设直线方程为，联立，可得，所以，因为以线段为直径的圆过点，所以，所以，即（舍去）或，所以直线的方程为，即，所以直线经过定点当的斜率为0时，由对称性知，此时也过，所以直线经过定点综上直线经过定点5如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若，证明：直线恒过定点【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则代入，可得，抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明：设，则直线方程，方程，联立直线方程与抛物线方程，消去，得，同理而直线方程为，。

5、由，整理得由且，得，故直线经过定点6已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点【解答】解：（）设圆心，过点作 轴，垂足为，则，化为当时，也满足上式动圆圆心的轨迹的方程为（）设，由题意可知，轴是的角平分线，化为直线的方程为，化为，化为，令，则，直线过定点7已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为（1）求；（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，圆可得圆心，半径，到圆的最大距离为：，由题意可得，解得：；（2）由（1）得抛物线的方程为：，设，联立，整理可得：，由题意可得，所以直线的方程为：，令，可得，所以直线恒过轴上的一定点8已知直线与抛物线相交于，两点，满足定点，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，（1）求。

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