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［智育评价］蒙城县庄子中学联盟2023-2024学年度八年级期中综合素质评价数学试卷答案

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15.3【解析】本题考查双曲线的定义与向量的数量积，考查数形结合、化归与转化的数学思想

以FF2的中点O为坐标原点，F1F2的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则F1(一5,0)，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以F1,F2为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为写一片-1（≤一3》.P·P衣=(P+F·(P+F衣)，由M=F衣可得P应·P市=(PF+F0·(PFi-F1M0=|PF|2-|FM2=|PF|2-1.因为|P1的最小值为c-a=5-3=2,所以PM·PN的最小值是3.1.(4n2)×3,【解析】本题考查数列的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养

当1=1时，S=号a-3,得a1=18当≥2时，S1=昌a1-3,及=号a-3,两式形减得a,=号a号a12X3,得a=a一4X3”,所以学器=4又因为=6，所以{}是以6为首项，4为公差的等差数列，所以==4n+2,即a,=(4n+2)X3.因为a,≥2n十，所以(4m+2)×3≥2m+”,即2X3”≥是k2k2记么=2×，=>1，所以a方道猫数列6动-6所以尽≤6，解得1二吾，则正数长的最小值为17.选②.…1分解：(1)因为cosA=+c2-a2=-8=-√2ea.2bc3分12√2所以sinA=3…4分故△ABC的面积S=号6inA=V.…5分(2)设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=,_15√7sinA7…7分所以R=15714…8分设△ABC内切圆的半径为r,由号r(a+b什c)=S,…9分得r=2S=24=√4=214-7+b+c8+2√24+√27，…10分评分细则：【1】条件①和③都不满足△ABC为钝角三角形，如果考生选①或③，直接判0分.【2本题还可以求casB=,snB=号，△ABC的面积S=ushB=VC,【高三数学·参考答案第3页（共7页）】906C·HLJ·

分析（1）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，能求出直线l的参数方程．
（2）求出直线的参数方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，能求出|PA|•|PB|．

解答解：（1）∵ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，则x²+y²-4y=0，…（3分）
即圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．…（4分）
（2）∵直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．…（6分）
将该方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，
得${t}^{2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，t₁t₂=-2．…（9分）
即|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

点评本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的合理运用．

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