首先，本文不是说数学比物理容易。否则，一定会有数学高手拿着难题来考本作者。

任何学问和技艺，做到顶尖水平都是非常困难的。梅西和费德勒两人，哪个更伟大？这个问题恐怕很难回答，更难有定论。但这两种运动中，足球肯定是更容易入门的。一群孩子追着足球跑，踢不到球也高兴，也能达到锻炼身体的目的。以身心愉悦为标准，足球几乎是一项零门槛的运动。网球则不然，两个不会打球的人在一起，一点儿也不好玩，基本上只能练习捡球。学网球应该首先请专业教练，从基本动作练起来，要练一段时间才能够去打比赛。

物理比数学更难入门。在中学时代，很多学生能学好数学，却学不好物理；反过来的则很少；这是因为物理和数学的思维方式是有差别的。虽然这两门学科都使用科学方法，但数学更清晰，物理则更灵活，很多学生可能转不过弯，上不了路。不过不认真反思，物理和数学思维方式的差别还真不容易说清楚。让我们假设读者已经在数学课上入门了，以数学家的眼光审查物理，看看物理学有什么不同。

首先是概念，你的中学物理老师经常强调概念的理解，言外之意就是理解物理概念并不容易。数学老师就很少这样讲，数学概念，比如三角形、圆形、面积乃至三角函数，真心没有那么难理解。数学概念一两句话就能定义，物理概念往往不是几句话能解释清楚的。

咱们从一个最简单的例子开始，牛顿第二定律

F=ma

这是物理学最基本的方程了，从数学表达形式，简单得不能再简单了。但这个方程里有三个概念，其中加速度，也就是速度的变化率，是一个运动学的概念；也可以说它是一个数学概念，用微分可以非常容易地定义。质量和力是两个非常重要物理概念，它们的定义是什么？

质量还稍微好说点儿，有一种说法：质量是物体内部有多少物质的度量。但这个说法太模糊，一个数学上可接受的定义是能够精确定量的，比如给出面积的定义（用一个个小方块逼近），我们就能够计算所有形状的面积（用积分）。一个钢球和一杯水，我怎么知道哪个里面物质多？如果精确地在不同的物质中比较质量，只能比较惯性。怎么衡量惯性？用F/a定义，这样就准确了。

力是怎么定义的呢？它是两个物体之间的相互作用，它是一个向量，就像加速度一样。可这样的定义就更含糊不清了。要想清楚地定义力，只能看它作用在一个物体后的效果，就是产生加速度。也就是说ma是力的准确定义。

经过数学逻辑训练的你马上就会指出：你把质量定义成m=F/a，把力定义成F=ma，这是循环定义。这样的牛顿第二定律完全是没有意义的废话。

是的，在某种意义上，力和质量是循环定义的。牛顿第二定律是怎样发现和验证的？你是不是会认为，测量了一个物体的质量和加速度，再测量了它受的力，做个乘法去比较？错了！自然界从来不会这么简单地揭示她的规律。她只是给人们一些提示，有智慧的科学家猜到了其中的奥妙，建立起理论系统来解释观测到的现象。

牛顿的三条定律的第一个应用，是帮助我们确立质量和力的测量方法。

我们说过，质量是物体内有多少物质的度量，这个说法虽然不够明确但并非无用。至少，两个同样材料制成的砝码合在一起，总质量变成了两倍。这样你就可以用一套砝码和天平秤去比较不同种类材料组成的物体的质量。使用天平称质量，你必须首先承认：1、重力正比于质量 ，2、牛顿三定律，告诉你两边重量相等时天平会平衡。

重力正比于质量，是基于一个重要的实验观测：当空气阻力很小时，所有的物体，无论质量大小，下落时的加速度都是一样的，重力加速度g=9.8米/秒^2。这样，测量了质量，我们也就知道了一个物体上的重力。另外我们还观测到弹簧被重物拉伸的长度正比于重量，所以有些场合下还可以用弹簧来测量受力。

在数学的体系里，写出一个方程式之前，两端的变量必须有严格的定义。物理则不然，物理概念的严格定义可能会依赖于方程式。

一个循环定义的数学方程，是不会产生什么有意义的结果的。物理则不是这样，请看这道中学物理题：当一个物体在光滑的斜面滑下来时，它的重力可以分解成一个垂直于斜面以及沿斜面向下的力。前者和斜面的支撑力抵消，后者产生下滑的加速度。这样，知道重力加速度和斜面倾角，我们就可以计算物体下滑的加速度。

物理学和一切科学的任务，就是把观测现象联系起来。现在我们在测量了物体自由下落的重力加速度后，能够预测物体在任何倾角的斜面上下滑的加速度。这个预测也可以通过实验来检验（三百年前就检验过了）。你能说循环定义是废话吗？

再看一个固定在弹簧一端的振动的小球。因为弹簧的拉力正比于拉伸，小球每一时刻的受力都不同。它的运动最后是什么样子的？对这个问题的探索变成了一个微分方程。单摆是一个用绳子吊着的做小幅度摆动的小球。它的受力分析很像斜面上的滑块。绳子的拉力抵消了一部分重力，另一部分让小球加速下摆。对这个问题的求解让我们得到了一个与弹簧很相似的微分方程。

求解这两个微分方程，我们得到了一系列不平凡的结果：弹簧上和单摆上的小球的摆动是一个用三角函数来描述的简谐振动，单摆的摆动的周期和小球的质量无关，用绳子的长度和重力加速度就可以算出来。朋友们还可以推导，只要测量弹簧竖着吊起这个小球的拉伸长度，用这个长度和重力加速度我们就可以计算它的振动周期。有了这么多不平凡的结果，以及实验的检验，你还敢说循环定义没有任何意义吗？

为什么一个循环定义的方程可以产生这么丰富的成果？因为在这个方程式后面，还隐藏着我们对物理量性质的理解。比如，质量是物体自身的性质，在各个场合都不会改变。更重要的，力是两个物体之间的作用，重力是物体和大地之间的作用，与第三者无关。所以一个物体的重力，无论是自由下落时，还是在斜面上滑动，或是被绳子吊着摆动，都是同样大小垂直向下。

回到之前那个问题，牛顿定律是怎样验证的？当然不是靠测量质量、加速度和力来直接验证的。物理学家是通过这套理论对具体应用场景例如斜面、单摆、弹簧振子的分析计算，靠它在实验数据之间建立起的联系，来确认这套理论的正确性的。较真的数学家可能会说，你的这些题目里每一道都有额外的假定，比如斜面的支撑力抵消重力分量，每一个例子都不能反过来证明牛顿定律。首先，基本物理规律从来不是（以数学课里的证明方式）证明出来的，是猜出来的。其次，物理学界接受一套理论，一般也是需要很多个实验证据的。

物理学中的规则，没有数学那样简单清晰。一个像质量、力那样的物理概念，有着丰富的内涵，包括：

1：对它的定性认识

2：它在物理定律中的位置

3：结合物理定律的测量方法

4：具体场景下的表现方式

对力这个概念的掌握，要求能在各个场景下做受力分析。上面例子中的分析方法，并不复杂，但如果老师不教给你，大部分人自己悟不到。就算老师教了，也只有比较有灵气的学生能够很快领悟。

有的搞科学史的人喜欢说古希腊人创建了科学，这是错误的。古希腊人创立了数学，数学不是科学，它只是科学的工具。数学只要建立了公理系统，就可以自由发展，不一定需要同时观察世界。如果把欧几里得的《几何原本》的发表作为数学理论体系建立的标志，牛顿的《自然哲学的数学原理》是第一个物理学/科学理论体系的标志，后者足足晚了两千年！这倒不是因为物理理论本身有那么难，而是因为物理学需要实验观测。物体下落的匀加速运动，肉眼很难看清楚，需要精确的时间和距离测量。牛顿物理学的建立，还要依赖于玻璃制造技术的发展，成就了望远镜的发明用于天文观测。是人类经过长时间的技术积累，能够对运动进行精确测量，这才催生了物理学的建立。看牛顿这本书的标题，是实验观测，让物理学从哲学和数学中分离出来，成为了科学。

而今天的学生学习物理学，似乎和学数学没差别，学的都是公式和计算方法。大家很容易忘记，我们的计算是为了关联和预测实验数据；我们的分析结果，有些是推导和假设（比如斜面的支撑力抵消重力分量），有些是可以通过实验观测的现象（物体在斜面下滑的加速度）。学生们就算偶尔有机会上手做实验，也不一定能理解理论和实验的深刻关联。也不是所有的老师都能把这件事讲明白，所以物理的入门当然比数学更困难些。

我们还要注意到，物理学虽然来源于对世界的观察，但解决问题都需要对真实的世界进行提炼和简化。比如一个理想化的没有大小有质量的质点，比如一个没有摩擦阻力的斜面。这些不符合你的生活经验，却是让物理学家们首先发现自然规律的场景，也是你学习物理的入门题。还有，斜面的支撑力是否真的平衡了重力分量？你有没有注意到物体从斜面滑下来时的声音？有声音就说明有振动，在垂直于斜面的方向上，物体有振动，那么力就不可能是完全平衡的。不考虑垂直于斜面的运动是一个简化的物理模型。摩擦出声，是因为物体表面在微观尺度上不是平的；但即使要研究物体粗糙表面的效应，一个有效的简化模型仍然是忽略垂直于斜面的运动，研究它主要的宏观影响：一个水平方向上的摩擦力。

总之，要解决一个物理问题，你首先要把基本物理定律作为公设，从它出发开始推导；然后你需要找到一个好的简化模型，再搞清楚各个物理概念、物理量在这个应用场景下的表现。这几步做好了，你就成功地把一个物理问题转化为纯数学问题了。你当然还必须熟练掌握必要的数学工具，才能够最终解决这个问题。前面的几个步骤，叫做建立物理图像，这是需要反复练习和领悟才能掌握的能力和直觉，没有简单通用的秘方。本文也不能教你怎样建立物理图像，如果几段话能说清楚，物理学就很容易入门了。其实就是在专业物理学家的圈子里，大家也常常会说，某某只是数学好（略带贬义），某某物理特别好，就是说他很强的物理图像的能力和物理直观。

当然，也有人滑向另一个极端，比如很多民科。物理学是一门实验科学，可它又是理论和实验分工的学科。要说做物理实验，业余人士很难从事，光是买设备就足以把绝大部分普通人挡在门外。但理论研究似乎是零成本，坐在那里思考就可以（这种思考也很好玩），所以理论物理这个行业民科挺多。但他们的问题往往是知道物理和数学不同，就认为可以脱离数学来研究物理，他们可以通篇地谈论天人合一，见不到一个公式，见不到一个对实验现象的定量解释和预测。

不把数学学到入门，不学会用精确的数学语言来讨论物理问题，你永远进不了物理学的门。

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