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1、考点考点 12 等式与不等式（核心考点讲与练）等式与不等式（核心考点讲与练） 一、一、等式与不等式的性质等式与不等式的性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法ab0ab，ab0ab，ab0a1（aR R，b0）ab（aR R，b0），ab1ab（a，b0），ab0）a0）. 2.等式的性质 (1)对称性：若ab，则ba. (2)传递性：若ab，bc，则ac. (3)可加性：若ab，则acbc. (4)可乘性：若ab，则acbc；若ab，cd，则acbd. 3.不等式的性质 (1)对称性：abba； (2)传递性：ab，bcac； (3)可加性：abacbc；ab，cdacbd； (4)可。

2、乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd； (5)可乘方：ab0anbn(nN N，n1)； (6)可开方：ab0nanb(nN N，n2). 二、均值二、均值不等式及其应用不等式及其应用 1.均值不等式：abab2 (1)均值不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号. (3)其中ab2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR R)，当且仅当ab时取等号. (2)abab22(a，bR R)，当且仅当ab时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x0，y0，则。

3、 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是 2p(简记：积定和最小). (2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大). 三、三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1x2b2a 没有实数根 ax2。

4、bxc0 (a0)的解集 x|xx2或xx1 x|xb2a R R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 3.(xa)(xb)0 或(xa)(xb)0 型不等式的解集 不等式 解集 ab (xa)(xb)0 x|xb x|xa x|xa (xa)(xb)0 x|axb x|bx0(0(0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a0 的情况转化为 a0 时的情形. 6.在解决不等式 ax2bxc0(或0)对于一切 xR 恒成立问题时， 当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数 a 进行讨论，并研究当 a0。

5、 时是否满足题意. 7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 不等式的性质不等式的性质 1.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（ ） A若ab，则ab cba c B若ab，cd，则acbd C若ab，cd，则acbd D若0ab，0cd，则dcab 【答案】【答案】D 【分析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误. 【详解】对于 A选项，当0c =时，ab cba c，A 选项错误； 对于 B选项，取2a，1b，0c =，2d ，则2ac ，。

6、3bd，acbd 不成立，B选项错误； 对于 C选项，取2a，1b，1c，10d ，则2ac ，10bd ，acbd不成立，C选项错误； 对于 D选项，当0ab时，则110ba，由于0cd，所以，cdba，D 选项正确. 故选：D. 不等式的解法不等式的解法 2.（2021陕西省西安中学检测）不等式20axbxc的解集为4,1，则不等式2130b xa xc的解集为（） A4,13 B41,3 C4,1,3 D41,3 【答案】【答案】B 【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到, ,a b c的关系，判断a为负数，将, ,a b c的关系代入后一个不等式，解得答案. 【详解】由题意知：4,1是方程20axbxc的两个解，代入方程得到 4 13 ,44 1baba caca ，0a ， 不等式2130b xa xc可化为：231340a xa xa， 即231340 xx解得41,3x . 故选 B. 基本不等式以及应用基本不等式以及应用 3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量( ,-1), (2 -1,3)(0, 0)manbabu rr，若 / / mnu rr则21ab的。

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