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1、专题突破练6利用导数证明问题1.(2021海南海口月考)已知函数f(x)=x2+2ax(a0)与g(x)=4a2ln x+b的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.(1)若a=1,求b的值;(2)求证:f(x)g(x).2.(2021辽宁朝阳一模)已知函数f(x)=ex-asin x-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a的值;(2)证明:对xR,f(x)0恒成立.3.(2021河北石家庄三模)已知函数f(x)=aln x-x2+x+3a.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若0a14,求证:f(x)exx-x2+x.4.(2021江苏百校联盟3月。

2、联考)已知函数f(x)=aex+sin x+x,x0,.(1)证明:当a=-1时,函数f(x)有唯一的极大值点;(2)当-2a0时,证明:f(x)0,且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明:x1+x222x1,证明:x12+x224e.专题突破练6利用导数证明:问题1.(1)解: 设P(x0,y0)(x00),则x02+2ax0=4a2ln x0+b.又f(x)=2x+2a,g(x)=4a2x,2×0+2a=4a2x0.a=1,×02+x0-2=0,×0=1,则410+b=1+2=3,解得b=3.(2)证明: 由(1)得2×0+2a=4a2x0,即x02+ax0-2a2=0。

3、,得x0=a.a2+2a2-4a2ln a-b=0.令h(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-4a2ln x-b(a0),则h(x)=2x+2a-4a2x=2(x2+ax-2a2)x=2(x+2a)(x-a)x.当0xa时,h(x)a时,h(x)0,故h(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+)上单调递增.x=a时,函数h(x)取得极小值即最小值,且h(a)=a2+2a2-4a2ln a-b=0,因此h(x)0,故f(x)g(x).2.(1)解: f(x)=ex-acos x-1.曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为x+y-1=0,f(0)=-1,1-a-1=-1,得a。

4、=1.(2)证明: 由于f(x)=ex-sin x-x,要证明对xR,f(x)0恒成立,需证明对xR,ex-xsin x.令g(x)=ex-x,g(x)=ex-1.令g(x)=0,得x=0.当x(-,0)时,g(x)0.函数g(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增.故g(x)min=g(0)=1,即对xR,ex-x1都成立,ex-x-sin x1-sin x0,两个等号不同时成立,ex-xsin x,对xR,f(x)0恒成立.3.(1)解: f(x)=ax-2x+1=-2×2+x+ax,x0,令f(x)=0,即-2×2+x+a=0,=1+8a.当0,即a-18时,f(x)0,f(x)在区间(0,+)上单调递减.当0,即a-18时,由f(x)=0,得x1=1+1+8a4,x2=1-1+8a4,则x1x2.当a0时,x10,x20,x(0,×1)时,f(x)0,x(x1,+)时,f(x)0,f(x)在区间(0,×1)上单调递增,在区间(x1,+)上单调递减.当-18a0,x20,x(0,×2)(x1,+)时,f(x)0,f(x)在区间(0,×2)和(x1,+)上单调递减,在区间(x2,x1)上单调递增.综上所述,当a-18时,f(x)在。

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