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1、专题24 利用导数解决双变量问题一、单选题 1设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由题意只需，对函数求导，判断单调性求出最小值，对函数讨论对称轴和区间的关系，得到函数最小值，利用即可得到实数的取值范围.【详解】若对于，使成立，只需，因为，所以，当时，所以在上是减函数，所以函数取得最小值因为，当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立；当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时；当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解；综上，实数的取值范围是，故选:A【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的。

2、最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.2已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【分析】的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可.【详解】解：的定义域，令，则必有两根，所以，当时，递减，所以的最小值为故选：A.【点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.3已知函数，若，其中，则的最大值为（ ）AB CD【答案】A【分析】由题意转化条件，通过导数判断函数的单调性，以及画出函数的图象，数形结合可知，进而可得，最后通过设函数，利用导。

3、数求函数的最大值.【详解】由题意， ，则，当时，单调递减，当时，单调递增，又时，时，作函数的图象如下：由图可知，当时，有唯一解，故，且，设，则，令，解得，易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，即的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，变形计算能力，数形结合思想，属于中档题，本题可得关键是判断.4设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据对于，使成立，用导数法求得的最小值，用二次函数的性质求得的最小值，再解不等式即可.【详解】因为，所以，当时，所以在上是增函数，所以函数取得最小值.因为，当时，取得最。

4、小值，因为对于，使成立，所以，不成立；当时，取得最小值，因为对于，使成立，所以，解得，此时；当时，取得最小值，因为对于，使成立，所以，解得，此时；综上：实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5已知函数，实数，满足若，使得成立，则的最大值为（ ）A3B4C5D【答案】A【分析】首先化简函数，和，并判断函数的单调性，由条件转化为子集关系，从而确定值.【详解】， ，当时，解得：，当时，解得：，所以在的单调递增区间是，单调递减区间是，当时取得最小值， ，函数在单调递增，所以，令，解得：或，由条件。

5、可知的值域是值域的子集，所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故选：A【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，以及双变量问题转化为子集问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.二、解答题6已知函数（）求函数的图象在点处的切线方程；（）若存在两个不相等的数，满足，求证：【答案】（）；（）证明见解析.【分析】（）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点处的切线方程；（）首先确定函数零点的区间，构造函数，利用导数判断函数的单调性，并得到在上恒成立，并利用单调性，变形得到.【详解】（），所以的图象在点处的切线方程为（）令，解得，当时，在上单调递增；当时， ， 在上单调递减所以为的极大值点，不妨设，由题可知令，因为，所以，所以单调递减又，所以在上恒成立，即在上恒成立所以，因为，又在上单调递增，所以，所以【点睛】思路点睛：本题是典型的极值点偏移问题，需先分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中。

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