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衡水金卷先享题2022-2023学年度上学期高三年级三调考试(新教材)数学试卷答案

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6．下面命题：
①幂函数图象不过第四象限；
②y=x⁰图象是一条直线；
③若函数y=2^x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
④若函数$y=\frac{1}{x}$的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是$\left\{{y\left|{y＜\frac{1}{2}}\right.}\right\}$；
⑤若函数y=x²的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}，
其中不正确命题的序号是②③④⑤．

分析（1）设不存在实数a，使得f（a）=a，构造函数F（x）=f（x）-x，则F（x）无零点，F（x）＞0或F（x）＜0恒成立，结合条件，引出矛盾，即可得出结论；
（2）转化为e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，构造函数，利用导数，即可得出结论．

解答（1）证明：设不存在实数a，使得f（a）=a，构造函数F（x）=f（x）-x，则F（x）无零点，
∴F（x）＞0或F（x）＜0恒成立．
不妨设F（x）＞0恒成立，则f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∵存在实数x₀，使得f（f（x₀））=x₀，
∴x₀=f（f（x₀））＞f（x₀）＞x₀，矛盾，
故假设不成立，
∴至少存在一个实数a，使得f（a）=a”；
（2）解：由（1）可知，存在一个实数a，使得f（a）=a
显然f（0）=0，则x≠0，F（x）无零点，
即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2≠x（x≠0）
∴e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，
设g（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2，则x＞0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）≥2，
x＜0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）＞2，
∴m+1≤2，∴m≤1．

点评本题考查反证法的运用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

衡水金卷先享题2022-2023学年度上学期高三年级三调考试(新教材)数学