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全国大联考2023届高三全国第三次联考 3LK(新高考)数学试卷答案

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11．已知圆M：x²+y²-4y+3=0，Q是x轴上动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点，
（1）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直线MQ的方程；
（2）求四边形QAMB面积的最小值．

分析（1）由x＜-$\frac{5}{4}$，得5-4x＞0，由此利用均值定理能求出函数y=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$的最大值．
（2）由已知得（ax-2）（x-2）＞0．由此根据a=1，0＜a＜1，a＜0进行分类讨论，能求出关于x的二次不等式ax²-2x-2ax+4＞0的解集．

解答解：（1）∵x＜-$\frac{5}{4}$，∴5-4x＞0，
∴y=4x-2+$\frac{1}{4x-5}$=-（5-4x+$\frac{1}{5-4x}$）+3≤-2+3=1．
当且仅当5-4x=$\frac{1}{5-4x}$，即x=1时，y_max=1．
（2）∵a≤1且a≠0，ax²-2x-2ax+4＞0，
∴（ax-2）（x-2）＞0．
当a=1时，解集为{x|x≠2}；
当0＜a＜1时，解集为{x|x＞$\frac{2}{a}$或x＜2}；
当a＜0时，解集为{x|$\frac{2}{a}＜x＜2$}．

点评本题考查函数的最大值的求法，考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和均值定理的合理运用．

全国大联考2023届高三全国第三次联考 3LK(新高考)数学