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九师联盟2022-2023学年高三11月质量检测(新高考)数学试卷答案

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16．函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂．当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①f（x）=$\frac{1}{2}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）可以称为“理想函数”的有2个．

分析将问题转化为两函数g（x）=|ax-2|，h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx的图象在（0，1]无交点，再通过分类讨论和数形结合得出a的范围．

解答解：根据题意，记g（x）=|ax-2|，h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx，
则f（x）=g（x）-h（x），根据题意需对a进行讨论，
①当a=2，x∈（0，1]时，g（x）=2-2x，此时，
g（x）＜h（x）恒成立，即f（x）＜0在（0，1]恒成立，
所以，f（x）在（0，1]内无零点，符合题意，
②当a＞2，所以$\frac{2}{a}$∈（0，1），
因此，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+2，x∈（0，\frac{2}{a}]}\\{ax-2，x∈（\frac{2}{a}，1]}\end{array}\right.$，
函数g（x）先减后增，如右图，
当x∈（0，1]时，h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx单调递减，所以h（x）_min=h（1）=1，
要使f（x）在（0，1]上无零点，则只需h（x）＞g（x）恒成立，
再结合函数图象，只需满足条件h（1）＞g（1）即可，
所以，1＞a-2，解得a＜3，
综合①②讨论，实数a的取值范围为[2，3），
故答案为：[2，3）．

点评本题主要考查了函数零点的判断，函数的图象与性质，涉及函数的单调性和最值，以及分段函数的求解，属于中档题．

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