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2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国乙卷A 理数一试卷答案

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7．求下列函数的最小正周期及最大值、最小值：
（1）y=$\frac{1}{2}$sin3x一1；（2）y=（sinx+cosx）²；（3）y=2sinx-5cosx+1．

分析由已知当t=-2时，$|{\vecb-t\veca}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$，利用二次函数的配方法求得$|{\veca}|=\frac{4}{5}$，cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$-\frac{4}{5}$，展开$\veca•（{\vecb-\veca}）$后代值得答案．

解答解：由$|\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$（t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}）^{2}$$+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$$-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$，
∵当t=-2时，$|{\vecb-t\veca}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=-2$，$4-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{6}{5}$，
解得：$|{\veca}|=\frac{4}{5}$，cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$-\frac{4}{5}$，
∴$\veca•（{\vecb-\veca}）=\veca•\vecb-{\veca^2}=\frac{4}{5}×2×（{-\frac{4}{5}}）-\frac{16}{25}=-\frac{48}{25}$．
故选：A．

点评本题考查平面向量的数量积运算，解答此题的关键是由t=-2时，$|{\vecb-t\veca}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$求出$|\overrightarrow{a}|$和cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，是中档题．

2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国乙卷A 理数一