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2023届全国高考模拟信息试卷 新教材-L(五)数学试卷答案

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19．已知函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）
（1）证明：函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定义域R上为增函数；
（2）若函数g（x）=f（x）+2^x-2^-x满足g（3a-1）+g（a-3）＞0，求a的取值范围．

分析根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．

解答解：∵F是抛物线y²=5x的焦点
F（$\frac{5}{4}$，0），准线方程x=-$\frac{5}{4}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=x₁+$\frac{5}{4}$+x₂+$\frac{5}{4}$=10，
解得x₁+x₂=$\frac{15}{2}$，
∴线段AB的中点横坐标为：$\frac{15}{4}$．
∴线段AB的中点到y轴的距离是$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．

2023届全国高考模拟信息试卷 新教材-L(五)数学