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衡水金卷2022-2023高二三调考试(新教材新高考·月考卷)数学考卷答案

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试题答案

衡水金卷2022-2023高二三调考试(新教材新高考·月考卷)数学试卷答案

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6.己知线段AB两端点的坐标分别为A(-1,2),B(4,3),若直线1:mx+y-2m=0与线段AB有交点,求实数m的取值范围.

分析由射影性质先求出M,再由点到直线距离公式求出点M到直线x-y=5的距离d,分m=0和m≠0,结合均值定理分别讨论d的取值,由此能求出点M到直线x-y=5的距离的最大值.

解答解:设点P(-1,0)在动直线mx+y+2-m=0(m∈R)上射影为M(a,b),
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a+1}=\frac{1}{m}}\\{ma+b+2-m=0}\end{array}\right.$,解得a=$\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}$,b=$\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}$,
∴M($\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}$,$\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}$),
∴点M到直线x-y=5的距离d=$\frac{|\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}-\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}-5|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{4|{(m+\frac{1}{2})}^{2}+\frac{3}{4}|}{{m}^{2}+1}$,
当m=0时,d=2$\sqrt{2}$,
当m≠0时,
d=2$\sqrt{2}$(1+$\frac{1}{|m|+\frac{1}{|m|}}$)$≤2\sqrt{2}$(1+$\frac{1}{2}$)=3$\sqrt{2}$.
∴点M到直线x-y=5的距离的最大值是3$\sqrt{2}$.
故答案为:3$\sqrt{2}$.

点评本题考查点到直线的距离的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线距离公式、均值定理的合理运用.

衡水金卷2022-2023高二三调考试(新教材新高考·月考卷)数学

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