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天一大联考·安徽卓越县中联盟 2022-2023学年高三年级第一次联考数学试卷答案

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15．函数f（x）=x+a|x-1|在（0，+∞）上有最大值，则实数a的取值范围是（-∞，-1]．

分析（1）由数列{a_n}的首项a₁=1，?n∈N⁺，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，$\frac{{a}_{n}}{n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答（1）证明：∵数列{a_n}的首项a₁=1，?n∈N⁺，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，可得a_n=$\frac{2}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n项和S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

天一大联考·安徽卓越县中联盟 2022-2023学年高三年级第一次联考数学