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山西省2022-2023学年高一第一学期高中新课程模块期中考试试题(卷)数学试卷答案

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4．集合A={x|9^x+p•3^x+q=0，x∈R}，B={x|q•9^x+p•3^x+1=0，x∈R}，且实数pq≠0
（1）证明：若x₀∈A，则-x₀∈B；
（2）是否存在实数p，q满足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}？若存在，求出p，q的值，不存在说明理由．

分析（1）求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，从而讨论以确定函数的单调性；
（2）若k≥1，则f_min（x）=f（k）=1+lnk-（k-1）=lnk-k+2＞0，求导可判断f（k）在（1，+∞）上是减函数，再由函数零点的判定定理求最大值即可．

解答解：（1）∵f（x）=1+lnx-$\frac{（x-1）k}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，
①当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当k＞0时，x∈（0，k）时，f′（x）＜0；
x∈（k，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，k）上是减函数，在（k，+∞）上是增函数；
（2）若k≥1，则f_min（x）=f（k）=1+lnk-（k-1）=lnk-k+2＞0，
f′（k）=$\frac{1}{k}$-1≤0，
故f（k）在（1，+∞）上是减函数，
而f（2）=ln2-2+2=ln2＞0，
f（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0，
f（4）=ln4-4+2=ln4-2＜0；
故整数k的最大值为3．

点评本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．

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