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2023全国高考单科综合卷(六)6数学试卷答案

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12．已知复数z=2+i（i虚数单位），若$\frac{a}{z}+{z^2}∈R$，则实数a的值为（　　）

A．

4

B．

10

C．

20

D．

$-\frac{15}{2}$

分析（1）cosβ=$\frac{4}{5}$，0＜β＜π，可得sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$．利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{12}{5}$=2cosα×2cosβ+2sinα×2sinβ）．可得cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．同理可得sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$．利用sinα=sin[（α-β）+β]即可得出．
（2）利用数量积运算性质可得：分别计算$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$．代入$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$，看是否为0，即可判断出结论．

解答解：（1）∵cosβ=$\frac{4}{5}$，0＜β＜π，
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$．
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{12}{5}$=2cosα×2cosβ+2sinα×2sinβ）．
∴cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
∵0＜β＜α＜π，∴0＜α-β＜π．
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$．
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=1．
（2）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（2sinα）^{2}}$=2，
$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（2cosβ）^{2}+（2sinβ）^{2}}$=2．
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=2²-2²=0．
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．

点评本题考查了向量数量积运算性质、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2023全国高考单科综合卷(六)6数学