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衡中同卷2022-2023上学期高三年级四调考试(新高考/新教材版)数学试卷答案

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12．已知函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=cosx，则$f（-\frac{π}{6}）$=（　　）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

D．

$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

分析y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），故将函数平移后得到y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（-x-$\frac{π}{6}$-θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），即cos（x+$\frac{π}{6}$+θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）恒成立，于是x+$\frac{π}{6}$+θ=x-$\frac{π}{6}$-θ+2kπ，解出θ=kπ-$\frac{π}{6}$．

解答解：∵y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），
∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），
∵y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）的图象关于y轴对称，
∴cos（-x-$\frac{π}{6}$-θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），即cos（x+$\frac{π}{6}$+θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）恒成立．
∴x+$\frac{π}{6}$+θ=x-$\frac{π}{6}$-θ+2kπ，解得θ=kπ-$\frac{π}{6}$．
∵θ＞0，
∴当k=1时，θ取最小值$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评本题考查了三角函数的恒等变换及函数图象变换，利用图象变换规律找到平移后的函数是关键．

衡中同卷2022-2023上学期高三年级四调考试(新高考/新教材版)数学