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辽宁省高三2022-2023上学期期中考试数学试卷答案
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9.已知函数f(x)=ex-ax一1(a∈R).
(I)讨论函数y=f(x)的单调性并求其单调区间;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-x1nx在定义域内存在零点,试求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若g(x)=1n(ex-1)-lnx,且f[g(x)]<f(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
分析取BD的中点E,则AE⊥BD,CE⊥BD.?从而得到BD⊥AC;AB与平面BCD成45°的角;设正方形边长为a,则AD=DC=a,AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC.从而AC=a;以E为坐标原点,EC、ED、EA分别为x,y,z轴建立直角坐标系,利用向量法得到AB与CD所成的角为60°.
解答解:在①中:取BD的中点E,则AE⊥BD,CE⊥BD.?
∴BD⊥面AEC,∴BD⊥AC,故①正确;
在②中:∵AE⊥平面BCD,∠ABD为AB与面BCD所成的角,
∵AE=BE,∴∠ABD=45°,∴AB与平面BCD成45°的角,故②不正确;
在③中:设正方形边长为a,
则AD=DC=a,AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC.∴AC=a.?
∴△ACD为等边三角形,故③正确;?
在④中:以E为坐标原点,EC、ED、EA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,?
则A(0,0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$a),B(0,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,0),D(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,0),C($\frac{\sqrt{2}}{2}$a,0,0).??
$\overrightarrow{AB}$=(0,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a),$\overrightarrow{DC}$=($\frac{\sqrt{2}}{2}$a,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,0).
cos<$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{DC}$>=$\frac{\frac{1}{2}a}{a×a}$=$\frac{1}{2}$.?
∴<$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{DC}$>=60°,∴AB与CD所成的角为60°,故④正确.
∴真命题为①③④.?
点评本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
辽宁省高三2022-2023上学期期中考试数学