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衡水金卷 广东省2023届高三年级11月份大联考数学试卷答案

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19．求证：曲线y=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a为非零常数）上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值．

分析以底面正方形ABCD中心O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与DF所成角的正切值．

解答解：以底面正方形ABCD中心O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），
V（0，0，4），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），F（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}，2$），
设向量BE和DF成角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{DF}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}-2+4}{\sqrt{\frac{1}{2}+2+4}•\sqrt{\frac{1}{2}+2+4}}$|=$\frac{3}{13}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{13}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{13}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
∴异面直线BE与DF所成角的正切值为$\frac{4\sqrt{10}}{13}$．

点评本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

衡水金卷 广东省2023届高三年级11月份大联考数学