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2023届百万联考高三11月联考(2005C QG)数学试卷答案

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14．设连续函数f（x）的定义域为R，已知，若函数f（x）无零点，则f（x）＞0或f（x）＜0恒成立．
（1）用反证法证明：“若存在实数x₀，使得f（f（x₀））=x₀，则至少存在一个实数a，使得f（a）=a”；
（2）若f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2，有且仅有一个实数x₀，使得f（f（x₀））=x₀，求实数m的取值范围．

分析根据基本不等式a²+b²≥2ab，可将其变形为ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，代入数据即可得答案．

解答解：a²+b²≥2ab⇒ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，（当且仅当a=b时成立）
又由a²+b²=2，则ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$=1，当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时成立．
则ab的最大值为：$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评本题考查基本不等式的变形应用，牢记ab≤（ $\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$等变形形式．

2023届百万联考高三11月联考(2005C QG)数学