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2023届百万联考高三11月联考(2008C QG)数学考卷答案

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试题答案

2023届百万联考高三11月联考(2008C QG)数学试卷答案

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4.下列关于命题的说法错误的是(  )

A. 若命题p:?n∈N,2n>1000,则¬p:?n∈N,2n≤1000
B. 命题“若x2-3x+2=0,则x=1”,逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”;
C. “a=2”是“函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件;
D. 命题“?x∈(-∞,0),2x<3x”是真命题

分析(1)化简函数f(x),根据x=x0是f(x)图象的对称轴,求出2x0,再求g(2x0)的值;
(2)化简函数h(x),利用三角函数的图象与性质求出h(x)的单调增区间;
(3)根据题意把问题转化为函数h(x)与y=t图象的交点问题,结合函数图象求出t的取值范围.

解答解:(1)由题设知,函数$f(x)={cos^2}(x+\frac{π}{12})$=$\frac{1}{2}$[1+cos(2x+$\frac{π}{6}$)],
∵x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴,
∴cos(2x0+$\frac{π}{6}$)=±1;…(2分)
∴2x0+$\frac{π}{6}$=kπ,k∈Z;
解得2x0=kπ-$\frac{π}{6}$,k∈Z;
∴g(2x0)=1+$\frac{1}{2}$sin(2kπ-$\frac{π}{3}$)=1-$\frac{\sqrt{3}}{4}$;…(4分)
(2)函数h(x)=f(x)+g(x)
=$\frac{1}{2}$[1+cos(2x+$\frac{π}{6}$)]+1+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$[cos(2x+$\frac{π}{6}$)+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$($\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x)+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{3}{2}$,
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,
即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$,k∈Z时,
函数h(x)=$\frac{1}{2}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{3}{2}$是增函数,
∴函数h(x)的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$,kπ+$\frac{π}{12}$],k∈Z;
(3)函数p(x)=h(x)-t在$x∈[0,\frac{π}{2}]$上有两个零点,
等价于函数h(x)=$\frac{1}{2}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{3}{2}$与y=t在$x∈[0,\frac{π}{2}]$上有两个交点;
令μ=$2x+\frac{π}{3}$,则μ$∈[\frac{π}{3},\frac{4π}{3}]$,
则函数y=$\frac{1}{2}sin$μ+$\frac{3}{2}$与y=t在$[\frac{π}{3},\frac{4π}{3}]$上有两个交点;
当μ=$\frac{π}{3}$时,y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{π}{3}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$,
当μ=$\frac{π}{2}$时,y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=2,
当μ=$\frac{4π}{3}$时,y=$\frac{1}{2}sin$$\frac{4π}{3}$+$\frac{3}{2}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$,
所以t的取值范围是$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}≤t<\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{3}{2}$或t=2.

点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了函数的零点问题,考查了数形结合思想与转化思想的应用问题,是综合性题目.

2023届百万联考高三11月联考(2008C QG)数学

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