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2022-2023河南省濮阳市一高2022级高一上学期第一次质量检测数学试卷答案

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8．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$tanB=\frac{{\sqrt{3}ac}}{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}$．
（1）求∠B；
（2）求函数$f（x）=sinx+2sinBcosx，x∈[0，\frac{π}{2}]$的值域及单调递减区间．

分析令g（x）=aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），h（x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$），判断g（x），h（x）的奇偶性，可得f（x）=g（x）+h（x）+3，由g（x）+h（x）的最值之和为0，即可得到f（x）在（-∞，0）上有最大值．

解答解：令g（x）=aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
g（-x）+g（x）=aln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+aln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
=aln（1+x²-x²）=aln1=0，
即有g（x）为奇函数；
令h（x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$），h（-x）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$）=b（$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$），
由h（x）+h（-x）=0，可得h（x）为奇函数，
则f（x）=g（x）+h（x）+3，
由f（x）在（0，+∞）上有最小值4，
可得g（x）+h（x）在（0，+∞）上有最小值1，
则g（x）+h（x）在（-∞，0）上有最大值-1，
即有f（x）在（-∞，0）上有最大值-1+3=2，
故选：C．

点评本题考查函数的奇偶性的判断和运用：求最值，考查运算能力和构造函数的思想方法，属于中档题．

2022-2023河南省濮阳市一高2022级高一上学期第一次质量检测数学