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衡水金卷先享题 2022-2023学年度上学期高三年级三调考试(湖南专版)数学试卷答案

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7．篮球比赛时，运动员的进攻成功率=投球命中率×不被对方运动员的拦截率．某运动员在距球篮10米（指到篮圈圆心在地面上射影的距离）以内的投球命中率有如下变化：距球篮1米以内（不含1米）为100%．距离球篮x米处，命中率下降至100%-10%[x]．该运动员投球被拦截率为$\frac{90%}{[x]+1}（{[x]为实数x的整数部分，如[{3.4}]=3}）$．试求该运动员在比赛时：（结果精确到1%）
（1）在三分线（约距球篮6.72米）处的进攻成功率为多少？
（2）在距球篮几米处的进攻成功率最大，最大进攻成功率为多少？

分析由已知条件分别求出|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，PG=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，由此能求出$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值．

解答解：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=1，$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2}{3}|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
PG=$\sqrt{G{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}+1}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
设$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角为θ，
则sinθ=sin∠PGD=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
∴$\overrightarrow{PG}$与底面ABCD的夹角的正弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
故选：B．

点评本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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