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2022-2023上学期高三第一次综合素养评价(HZ)数学试卷答案

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10．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（3）若对任意的t∈（1，4），不等式$f（4-k\sqrt{t}）+f（t）＞0$恒成立，求实数k的取值范围．

分析把已知的数列递推式变形，然后利用累积法求解数列的通项公式．

解答解：由a_n+1=（2+$\frac{2}{n}$）a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2（n+1）}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2×2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2×3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{2×4}{3}$，
$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{2×5}{4}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n}{n-1}$（n≥2）．
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}={n•2}^{n-1}$，
∵a₁=2，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2）．
验证n=1时上式成立．
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$．
故答案为：n•2ⁿ．

点评本题考查数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，是中档题．

2022-2023上学期高三第一次综合素养评价(HZ)数学