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哈师大附中2022-2023学年度2021级高二上学期期中考试数学试卷答案

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16．f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当$t=4，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$时，F（x）=g（x）-f（x）的最小值是-2，求a的值；
（2）当$0＜a＜1，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

分析由已知求出A的坐标，代入mx+ny+1=0，得到3m+n=1．则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n），展开后利用基本不等式求最值．

解答解：由x+4=1，得x=-3，
∴函数y=log_a（x+4）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A（-3，-1），
则-3m-n+1=0，即3m+n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n）=6+$\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}$$≥6+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}=12$．
当且仅当3m=n，即m=$\frac{1}{6}，n=\frac{1}{2}$时等号成立．
故答案为：12．

点评本题考查函数恒过定点问题，考查了利用基本不等式求最值，关键是对1的灵活运用，是基础题．

哈师大附中2022-2023学年度2021级高二上学期期中考试数学