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2022-2023学年湖南省高一12月联考(003A HUN)数学试卷答案

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7．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校-年级学生中进行随机抽职了100名学生进行调查．调查结果如表所示：

	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	60	10	70
北方学生	20	10	30
合计	80	20	100

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）将上述调查所得到学生喜欢甜品的频率视为概率．现在从该大学一年级学生中，采用随机抽样的方法抽职1名学生，抽职5次，记被抽取的5名学生中的“喜欢甜品人数”为X．若每次抽职结果是相互独立的，求期望E（X）和方差D（X）．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（a+c）（c+d）（b+d）}$，

P（K2≥K）	0.100	0.050	0.010
K	2.706	3.841	6.635

分析利用递推关系即可得出．

解答解：∵a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴当n=1时，a₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
当n=1时也成立，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
故选：D．

点评本题考查了数列的通项公式求法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2022-2023学年湖南省高一12月联考(003A HUN)数学