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2023届黑龙江省高三考试12月联考(23-135C)数学试卷答案

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4．已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且g（x）的图象过点（1，3），g（x）=f（x-1），则f（2012）+g（2013）=（　　）

A．

6

B．

4

C．

-4

D．

-6

分析（1）求出g（x）的导数，求得单调区间，即可得到g（x）的极大值；
（2）运用单调性可得y=e^2x+sinx的最小值为1，由二次函数的最值的求法，可得-3x²+3x-1的最小值为-1，进而得到f（x）的最小值为0，由题意可得0≥g（x）=ax²+a²lnx在（0，1]恒成立．对a讨论，结合单调性，即可得到a的范围．

解答解：（1）若a=-1，则g（x）=-x²+lnx，
g′（x）=-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{（1+\sqrt{2}x）（1-\sqrt{2}x）}{x}$，
由x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）递减；
由0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极大值，且为-$\frac{1}{2}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）当x∈[0，1]时，y=e^2x+sinx递增，
即有x=0处取得最小值，且为1；
y=-3x²+3x-1在[0，$\frac{1}{2}$]递增，在[$\frac{1}{2}$，1]递减，
即有x=0或1处取得最小值，且为-1．
则f（x）在[0，1]的最小值为1-1=0．
由题意可得0≥g（x）=ax²+a²lnx在（0，1]恒成立．
当a=0时，不等式显然成立；
当a＞0时，g（x）递增，即有0≥a，不成立；
当a＜0时，x²+alnx≥0，x=1时，显然成立，
当0＜x＜1时，即有lnx＜0，不等式显然成立．
综上可得a的取值范围是（-∞，0]．

点评本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．

2023届黑龙江省高三考试12月联考(23-135C)数学