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2022-2023学年贵州省2024届高二"三新"改革联盟校联考试卷(6六)数学试卷答案

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14．关于x的方程${（{\frac{2}{3}}）^x}=\frac{1+a}{1-a}$有负实数根，则a的取值范围是（　　）

A．

（-1，1）

B．

（0，1）

C．

（-1，0）

D．

$（{-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}}）$

分析构造函数f（x）=sinx，由f′（x）在（0，π）上是减函数，得出存在点ξ∈（x₁，x₂），使f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
η∈（x₂，x₃），使f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$，再由f′（x）的递减性即得所证．

解答证明：设函数f（x）=sinx，则f′（x）=cosx在（0，π）上是减函数；
∵f（x）在（x₁，x₂）上可导，在[x₁，x₂]上连续，
∴由拉格朗日中值定理知，
存在一点ξ∈（x₁，x₂），使得f′（ξ）=$\frac{si{nx}_{1}-si{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$；
同理，存在一点η∈（x₂，x₃），使得f′（η）=$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{3}}{{x}_{2}{-x}_{3}}$；
又ξ＜η，利用f′（x）的递减性知，
f′（ξ）＞f′（η），
∴$\frac{sin{x}_{1}-sin{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{sin{x}_{2}-sin{x}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$．

点评本题考查了利用函数的导数证明不等式的问题，也考查了转化思想的应用问题，是较难的题目．

2022-2023学年贵州省2024届高二"三新"改革联盟校联考试卷(6六)数学