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学科网2022年高三12月大联考考后强化卷(全国甲/乙卷)数学试卷答案

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2．已知两个单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|（λ＞0），求当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$最小时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．（参考：1+λ²≥2λ，当且仅当λ=1时等号成立．）

分析根据“等差”向量的定义得出$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即B是线段AC的中点，判断①正确；
根据B是线段AC的中点，结合“等差”向量定义，即可判断②正确；
根据点B是线段AC的中点，结合平面向量的运算法则与“等比”向量的定义，判断③错误；
根据余弦定理求出∠AOC的大小，利用点到直线的距离以及“等比”向量的概念，判断④正确．

解答解：对于①，若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即点B是线段AC的中点，①正确；
对于②，若点B是线段AC的中点，则$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，②正确；
对于③，若点B是线段AC的中点，则$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∵＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞∈（0，π），∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞＜1，
∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{OA}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$）≥$\frac{1}{4}$（2|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）
＞$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，③错误；
对于④，∵|$\overrightarrow{OA}$|=5，|$\overrightarrow{OC}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=7，
∴cos∠AOC=$\frac{{5}^{2}{+8}^{2}{-7}^{2}}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，∴∠AOC=60°；
又点O到直线AC的距离d=$\frac{5×8sin60°}{7}$=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
且点B在直线AC上，∴|$\overrightarrow{OB}$|≥$\frac{20\sqrt{3}}{7}$；
若$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$依次成“等比”向量，则${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=5×8×$\frac{1}{2}$=20，
又|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$＜$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，④正确．
故答案为：①②④．

点评本题考查了新定义的平面向量的应用问题，也考查了直线方程与等差等比数列的应用问题，考查了余弦定理的应用问题，考查了分析问题与解答问题的能力，是综合性题目．

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