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贵州新高考协作校2023届高三12月质量监测数学试卷答案

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2．点A、B、C、D在同一个球的球面上，${A}{B}={B}C=\sqrt{2}$，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为$\frac{2}{3}$，则这个球的表面积为（　　）

A．

8π

B．

$\frac{25π}{4}$

C．

$\frac{25π}{16}$

D．

$\frac{125π}{6}$

分析根据同角的三角函数关系，以及角的符号判断法则，求出sinθ与tanθ的值，
再化简$\frac{cos2θ}{sin2θ+co{s}^{2}θ}$，求出它的值．

解答解：∵θ是第一象限角，且cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinθ=$\sqrt{1{-cos}^{2}θ}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3；
∴$\frac{cos2θ}{sin2θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ}{2sinθcosθ{+cos}^{2}θ}$
=$\frac{1{-tan}^{2}θ}{2tanθ+1}$
=$\frac{1{-3}^{2}}{2×3+1}$
=-$\frac{8}{7}$．
故答案为：-$\frac{8}{7}$．

点评本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．

贵州新高考协作校2023届高三12月质量监测数学