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河北省精英中学邯郸分校2022-2023学年高二上学期第二次学科素养调研数学试卷答案

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2．求$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$的最小值．

分析令t=sinx，则t∈[-1，1]，y=2t²+2t+2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答解：令t=sinx，则t∈[-1，1]，y=2t²+2t+2，
由y=2t²+2t+2的图象是开口朝上，且以直线t=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=1，即x=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，函数取最大值6；
当t=-$\frac{1}{2}$，即x=$-\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，或x=$-\frac{5}{6}$+2kπ，k∈Z时，函数取最小值$\frac{3}{2}$；
故答案为：[$\frac{3}{2}$，6]；$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；$-\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，或$-\frac{5}{6}$+2kπ，k∈Z

点评本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，换元法，难度中档．

河北省精英中学邯郸分校2022-2023学年高二上学期第二次学科素养调研数学