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2022-2023学年新乡市高一选科调研第二次测试(23-238A)数学试卷答案

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10．已知点A（1，3），而且F₁是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PA|-|PF₁|的最小值．

分析由已知可得sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，sinαcosα=-$\frac{7}{18}$，sinα-cosα=-$\frac{4}{3}$，进而利用立方和公式及平方差公式，可得答案．

解答解：∵sin（π-α）-sin（$\frac{3π}{2}$+α）=sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（$\frac{3π}{2}$＜α＜2π）
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}$[（sinα+cosα）²-1]=-$\frac{7}{18}$，
∴（sinα-cosα）²=1+2×$\frac{7}{18}$=$\frac{16}{9}$，
∴sinα-cosα=-$\frac{4}{3}$
（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（1+$\frac{7}{18}$）=$\frac{25\sqrt{2}}{54}$；
（2）sin⁴α-cos⁴α=（sin²α+cos²α）（sin²α-cos²α）=sin²α-cos²α=（sinα+cosα）（sinα-cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$

点评本题考查的知识点是诱导公式，同角三角函数基本关系公式，立方和公式及平方差公式，难度中档．

2022-2023学年新乡市高一选科调研第二次测试(23-238A)数学