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2023年普通高等学校招生全国统一考试样卷1(一)数学试卷答案

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18．已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2^f（x）•2^f′（x）＞2，f（0）=27${\;}^{\frac{2}{3}}$-2${\;}^{lo{{g}_{2}}{3}}$×log₂$\frac{1}{8}$+2lg（$\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$）-11，则不等式$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}$＞1的解集为（　　）

A．

（-∞，0）

B．

（0，+∞）

C．

（1，+∞）

D．

（-∞，1）

分析（1）直线l消去参数t，得直线l的普通方程，圆C化为普通方程，求出圆心C到直线l：x+y-3=0的距离，由此能证明直线l与圆C相交．
（2）圆心坐标，直线l的方程求出AB长，当点P不在直线AB上，则这、A、B构成一个三角形，从而||PA|-|PB||＜|AB|，当点P在直线AB上，||PA|-|PB||≤|AB|，由此能求出||PA|-|PB||的最大值．

解答证明：（1）直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.，（t为参数）$中，
消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．
圆$C：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.，（θ为参数）$化为普通方程，
得：（x-1）²+（y-1）²=2，圆心C（1，1），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（1，1）到直线l：x+y-3=0的距离：d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$＜r=\sqrt{2}$，
∴直线l与圆C相交．
解：（2）过圆心C作CD⊥AB，交AB于D，由（2）得CD=d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=2AD=2$\sqrt{{r}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=2×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{6}$．
当点P不在直线AB上，则这、A、B构成一个三角形，∴||PA|-|PB||＜|AB|，
当点P在直线AB上，||PA|-|PB||≤|AB|=$\sqrt{6}$，
∴||PA|-|PB||的最大值为$\sqrt{6}$．

点评本题考查直线与圆相交的证明，考查两线段之差的绝对值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

2023年普通高等学校招生全国统一考试样卷1(一)数学