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金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷(五)5数学试卷答案

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2．过点P（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}，0$）作倾斜角为α的直线与曲线x²+2y²=1交于M，N两点，求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．

分析sinα+cosα=-$\frac{1}{2}$，α∈（0，π），可得α∈$（\frac{3π}{4}，π）$，-1＜tanα＜0．将已知变形为$\frac{（sinα+cosα）^{2}}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{1}{4}$，化为$\frac{ta{n}^{2}α+2tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{1}{4}$，解出即可．

解答解：∵sinα+cosα=-$\frac{1}{2}$，α∈（0，π），∴α∈$（\frac{3π}{4}，π）$，∴-1＜tanα＜0．
∴$\frac{（sinα+cosα）^{2}}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{1}{4}$，化为$\frac{ta{n}^{2}α+2tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{1}{4}$，即3tan²α+8tanα+3=0，
则tanα=$\frac{\sqrt{7}-4}{3}$．
故选：A．

点评本题考查了三角函数值的符号、同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷(五)5数学