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金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷3(三)数学试卷答案

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3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$．则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

	A．	[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）		B．	[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
	C．	[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）		D．	[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）

分析（1）求出x关于y的函数，然后将x，y互换位置得到反函数，注意自变量的取值范围；
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，由复合函数的单调性可知若f（x）在定义域上单调递增，则a²-a-2＜0．

解答解：（1）a=1时，y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴2^x=$\frac{2}{1-y}-1$，x=log₂（$\frac{2}{1-y}-1$），
∴f^-1（x）=log₂（$\frac{2}{1-x}-1$），（-1＜x＜1）．
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，
∵f（x）在定义域上单调递增，
∴a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2．
∴实数a的取值范围是（-1，2）．

点评本题考查了反函数的求法及复合函数的单调性，注意定义域的范围．

金考卷·百校联盟(新高考卷)2023年普通高等学校招生全国统一考试 领航卷3(三)数学