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2023年全国高考·模拟调研卷XXY(二)2数学试卷答案

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17．已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值，并证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）证明：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3}＜\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+…+\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{n}{2}$．

分析（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；
（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．

解答解：（1）当圆柱内接于圆锥时，圆柱的表面积最大．
设此时，圆柱的底面半径为r，高为h′．
圆锥的高h=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
又∵h′=$\sqrt{3}$，
∴h′=$\frac{1}{2}$h．∴$\frac{r}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，∴r=1．
∴S_表面积=2S_底+S_侧=2πr²+2πrh′
=2π+2π×$\sqrt{3}$=2（1+$\sqrt{3}$）π．（6分）
（2）设圆柱的外接球半径为R.$R=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴S=7π$V=\frac{{7\sqrt{7}π}}{6}$（12分）

点评本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．

2023年全国高考·模拟调研卷XXY(二)2数学