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三峡名校联盟2022-2023学年秋季联考高2025届数学试卷答案

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8.如图表示尿素对蛋白质空间结构的影响,尿素会导致蛋白质分子结构松弛,肽链伸展开来,从而使原来包藏在分子内部的-SF露,能与巯基试剂作用,在一定范围内,暴露的-SH随着肽链伸展程度的加深而增加。下列相关叙述正确的是(B

分析利用换元法，设t=1+$\frac{1}{x}$，把原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
再设函数f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，利用导数判断f（t）的单调性，从而证明不等式成立．

解答证明：令t=1+$\frac{1}{x}$，x=$\frac{1}{t-1}$，t＞1，
∴$\frac{1}{1+x}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{t-1}}$=$\frac{t-1}{t}$=1-$\frac{1}{t}$，
原不等式化为lnt＞1-$\frac{1}{t}$，t＞1；
设f（t）=lnt-（1-$\frac{1}{t}$），t＞1，
则f′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在（1，+∞）上是单调增函数，
∴f（t）＞f（1）=0，
∴lnt＞1-$\frac{1}{t}$；
即ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{1+x}$（0＜x＜+∞）．

点评本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性证明不等式成立的问题，体现了转化、换元的数学思想，是中档题．

三峡名校联盟2022-2023学年秋季联考高2025届数学