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1、2022 年中国数学奥林匹克（CMO）试题及解析1.设正实数序列 an，bn 满足：对任意正整数 n，均有an+1=an11+ni=11ai,bn+1=bn+11+ni=11bi.(1)若 a100b100=a101b101，求 a1 b1的值.(2)若 a100=b99，比较 a100+b100与 a101+b101的大小.解：(1)设 1+ni=11ai=cn，1+ni=11bi=dn，因此an+1=an1cn,bn+1=bn+1dn,cn+1=cn+1an+1,dn+1=dn+1bn+1.由 a101b101=a100b100，即(a1001c100)(b100+1d100)=a100b

2、100，即 a100c100b100d100=1.由 ancnan1cn1=ancn(an+1cn1)cn1=an(cncn1)1=0，得到 ancn 为常数列，ancn=a1c1=a1+1.由 bndn bn1dn1=bndn(bn1dn1)dn1=bn(dn dn1)+1=2，得到 bndn 为首项 b1d1=b1(1+1b1)=b1+1，公差为 2 的等差数列.因此 a100c100 b100d100=(a1+1)(b1+1)198=a1 b1 198=1，即 a1 b1=199.(2)由(1)易得 ancn=ancn1+1=a1+1，因此 cn=a1+1an以及 cn1=a1an，得到

3、cn=a1+1an=a1an+1.得到an+1an=a1a1+1，因此 an=an1(a1+1)n1.同理 bndn=bndn1+1=b1+2n 1，因此 dn=b1+2n 1bn以及 dn1=b1+2n 2bn，得到dn=b1+2n 1bn=b1+2nbn+1,1即bn+1bn=b1+2nb1+2n 1，得到 bn=(b1+2n 2)(b2+2n 4)(b1+2)b1(b1+2n 3)(b1+2n 5)(b1+1).因为 a100+b100 a101 b101=(a100 a101)(b101 b100)=1c1001d100=d100 c100c100d100.因此只需要比较 d100和

4、c100即可.又 d100=b1+199b100=(b1+199)(b1+197)b99(b1+198)，c100=a1+1a100，a100=b99，因此只需比较(b1+199)(b1+197)b1+198和 a1+1 即可.假设(b1+199)(b1+197)b1+1986 1+a1，即 a1 b1+197 1b1+198 b1+196.而a100=b99 a1(a1a1+1)99=b1(b1+2)(b1+196)(b1+1)(b1+3)(b1+195)(a1a1+1)100b1(b1+2)(b1+196)(b1+198)(b1+1)(b1+3)(b1+195)(b1+197)(b1+19

5、9)而b1(b1+198)(b1+1)(b1+199)(b1+99b1+100)22b1+199b1(b1+198)2b1+199(b1+99)2显然成立.因此(a1a1+1)100 b1+196，得到a1a1+1b1+196b1+197 b1+2b1+3，a1a1+1b1+99b1+100矛盾.因此假设不成立，只能(b1+199)(b1+197)b1+198 1+a1，推出 a100+b100 a101+b101.2.给定一个边长为 1 的正三角形 ABC.称(DEF,XY Z)是一个好三角形对，如果点 D，E，F 分别在线段 BC，CA，AB 内部，点 X，Y，Z 分别在直线 BC，CA，

6、AB 上，满足DE20=EF22=FD38，且 XY DE，Y Z EF，ZX FD.当(DEF,XY Z)取遍所有好三角形对时，求1SDEF+1SXY Z的所有可能值.解：如图，过 D,E,F 分别作 BC,CA,AB 的垂线，两两交点设为 U,V,W(UV W 为正三角形).设(AEF),(BDF),(CDE)交于密克点 M.易知 U,V,W 分别在(AEF),(BDF),(CDE)上.2由于 XY Z 对应边分别垂直 DEF 且 UV W 与 ABC 对应边分别垂直，易知 DEFUV W与 XY ZABC 为相似对应点，且相似比为 UV:AC,故SXY ZSDEF=AB2UV2又因为 AB=1，所以1SDEF+1SXY Z=1+UV2SDEF.记MCW=。注意到MWU=MCA,MUW=MAC，于是 MWU MCA.又因为 CW 为(CDE)直径，所以WMC=90，于是有UV=WUAC=MWMC=tan因为 DEF 形状确定，故SDEFDE2为定值记为.由正弦定理，有 DE=sin60CW=32CMcos，所以 SDEF=3CM24cos2因此，1SXY Z+1SDEF=1+tan

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