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2024届衡水金卷先享题调研卷 辽宁版(五)数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x$∈[0，\frac{7π}{24}]$时，求函数f（x）的值域．

分析f（x）=a^x-kx-a，（a＞0，a≠1）有且只有一个零点等价于y=a^x与y=kx+a只有一个交点，利用函数图象可得出答案．

解答解：∵f（x）有且只有一个零点，
∴a^x-kx-a=0只有一解．
即y=a^x与y=kx+a只有一个交点．
（1）当0＜a＜1时，作出函数图象如图：

显然y=a^x与y=kx+a只有一个交点，符合题意．
（2）当a＞1时，作出函数图象如图：

显然y=a^x与y=kx+a有两个交点，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是（0，1）．
故答案是（0，1）．

点评本题考查了函数零点的个数判断，正确作出函数图象是关键．

2024届衡水金卷先享题调研卷 辽宁版(五)数学